学習数学研究紀要 創刊号（第2巻）
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- 系 もしλ1 ≠０，λ2≠０ならば，A の逆行列 A-1 は⑹で n＝－１とおいた式 で与えられる。
１ １ P1＋ P2 λ λ 1 2
証明 n＝０，１のときは補助定理２による（A0＝I とみなす） 。次に n＞０のとき正しい とすれば An＋1＝An・A＝（λ1nP1＋λ2nP2） （λ1P1＋λ2P2） ＝λ1n＋1P1＋λ2n＋1P2＋ （λ1nλ2・P1・P2＋λ1λ2nP2・P1） n＋１の場合になる。すなわち n に関する数学的帰納法で正しい。 系は同様に，n＝－１とした式に A＝λ1 P1 ＋λ2 P2 を掛ければ P1 ＋P2 ＝I になるので，そ れが逆行列である。▯ 以上によって A の固有値λ1 ，λ2 （但しλ1 ≠λ2 ）さえ計算できれば，A の累乗もさらに 逆行列（λ1λ2 ≠０のとき）も，対角化行列などを計算せずに，直接に計算できる。
４ １ 例１ A＝ ８ ６
2 固有方程式はλ －１ ０ λ＋１ ６＝０であり，固有値はλ1 ＝８，
⑺
だ が ， P1・P2 ＝P2 ・P1＝O（零行列）で⑺の末尾の（ ）内は O に等しく，⑺は⑹の
λ2 ＝２；式⑸から P1 ＝
２ １ １ １ ４ －１ ， P2 ＝６－８ ２ ８ ４ ６
n ８ ６
であり，累乗は次のようになる。 An＝
3n＋1 n＋2 n n n ２ １ ２ ４ －１ １ ２ ＋２ ８ －２ ＋ ＝ n 1 n＋3 3n＋2 n＋1 ８ ４ ６ －８ ２ ６８ －２ ２ ＋２
必要ならば A を対角化して検算してみるとよい。 ４．固有値が重解の場合 固有方程式⑴が重複解λをもつ場合には， 上述の方法は適用できないが， 伝統的な標準手 法で累乗 An が計算できる。 もしも重複固有値λに属する固有ベクトル空間が２次元ならば，A は（λ，λ）を対角線 成分とする対角線行列に変換できる。しかしそれは初めから A＝λI の場合であって，計算 は容易である。 それ以外の場合には A は対角化できない。しかし（いろいろな方法で）適当な可逆な変 換行列 M により
λ １ B＝M -1AM＝ ＝λI ＋ J ， J ＝ ０ λ ０ １ ０ ０
とジョルダンの標準形に変換できる。J 2 ＝ O であり
n An＝MB nM -1；B n＝（λI ＋ J ） ＝λnI ＋ n λn－1J
の形で A の累乗が計算できる。具体的には次の通りになる。
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