学習数学研究紀要 創刊号（第2巻）
- ページ： 34
- する。なお上記の積は u i を１行２列, v i を２行１列の行列とみなしたときの行列の積であ る。 ２．スペクトル分解 前節の記号をそのまま続けて使う。 補助定理２ Pi＝
１ v i・u i （２行２列の行列） si
⑵
とおくと,行列 P1 ，P2 は次の性質をもつ： Pi2＝Pi ，P1 ･ P2 ＝P2 ･P1 ＝O （零行列） P1 ＋P2 ＝I，λ1 P1 ＋λ 2 P2 ＝A 証明 ⑶は単なる計算でできる。行列の積に結合法則を適用する。 Pi2＝
s １ v i・u i・v i・u i＝ i2 v i・u i＝Pi 2 si si
⑶ ⑷
（i ＝１，２）
P1 ･ P2 ＝
１ v 1 ・u 1 ・v 2 ・u 2 ＝O，P2 ･P1 も同様。 s１ s２
⑷は次のように考える。任意の（縦）ベクトル x は，一意的にα1v 1 ＋α2v 2 と表される。 これに⑷の左辺の行列を，線形変換として適用する。i ，j＝１，２として Pi v j ＝
s １ v i・u i・ v j ＝ i v i・δi j si si
（j ＝ i なら v i ，j≠i なら０）
だから，次の等式が成立する。 （P1 ＋P2 ）x ＝α1v 1 ＋α2v 2 ＝ x ＝I x （λ1 P1 ＋λ2 P2 ）x ＝λ1 α1v 1 ＋λ2 α2v 2 ＝Aα1v 1 ＋Aα2v 2 ＝Ax これらがすべてのベクトル x に対して成立する。これは両辺の写像を表す行列どうしが 相等しい（式⑷）ことを意味する。▯ 定義 上述の性質⑶，⑷を満たす２次行列 P1 ，P2 をもとの行列 A のスペクトル分解と いう。それは式⑷を P1 ，P2 の連立一次方程式とみなせば一意的である。▯ 実用上には⑷を解いて，次のように直接に計算するほうが早い。 P1 ＝
１ １ (A－λ2 I ） ，P2 ＝ (λ1 I－A） λ λ 1－λ 2 1－λ 2
⑸
３．Ａの累乗の式 定理３ スペクトル分解 P1 ，P2 が既知とする。λ1 ≠ λ2 のとき，A の累乗は次の式で与 えられる。 An＝λ1nP1＋λ2nP2 ⑹
－ 30 －
- ▲TOP
