学習数学研究紀要 創刊号（第2巻）
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- ２次行列の累乗について
学習数学研究所 特別顧問 一松 信(*) ０．はじめに
a b n ２次行列 A＝ の累乗 A の計算は，数学検定の１級（ときに準１級）によく出題さ c d
れている。 それは標準的な手法によって対角化を （それが不可能ならばジョルダンの標準形 に）して容易に計算できる。その意味で典型的な課題であり，何次でも同様である。 しかし２次に限れば， 以下のようにスペクトル分解の応用による 「ずるい」 計算法がある。 このような方法は， 線形代数学の 「王道」 とはいえない。 将来高校数学に行列が復活しても， 標準課程に取り入れるべきではないと思う。 しかし出題者の立場から見ると， こういった解法もあることを考慮に入れて， 慎重に出題 することが望ましい。 そのような注意を喚起する意味で， 敢えて本稿を執筆した次第である。 以下行列の成分は任意の体の要素でもよいが，実数として述べる。また一般の n 次正方 行列についても同様だが， 解説を２次行列に限定する。 固有値を含む線形代数学の基礎知識 は既知とする。 １．行列の固有値に関して（復習） ２次の正方行列 A は R 2 から R 2 への線形写像の表現である。それによって自分自身の （０でない）定数倍に写される（０でない）ベクトル v：Av ＝λv が固有ベクトルであり， 定数λは固有値とよばれる。 これに対して uA＝λu（u≠０）を満たす行ベクトル（横ベクトル）u を行固有ベクトル とよぶ。それは A の転置行列 A T の固有ベクトルを転置したものである。 固有値λは固有方程式 det(A－λI )＝０ の解として計算できる（det は行列式，I は
a b 単位行列） 。今の場合 A＝ に対して，固有方程式は c d
2 λ － （a＋d ） λ＋ （ad－bc） ＝０
⑴
と表される。 以下しばらく⑴が相異なる２個の解λ1， λ2 をもつ （判別式≠０） と仮定する。 λi（i ＝１，２）に対する（列）固有ベクトルと行固有ベクトル（の１つ）をそれぞれ v i， u i とおく。v 1 ，v 2 ； u 1 ， u 2 はそれぞれ一次独立で,それぞれが R 2 の基底をなす。 補助定理１ u 1 ･v 2 ＝０, u 2 ･v 1 ＝０,s i＝u i･v i≠０ 証明 u 1 ･A･ v 2 ＝λ1 u 1 ･v 2 ＝λ2 u 1 ･v 2 であり, λ1 ≠ λ2 から u 1 ･v 2 ＝０；u 2 ･v 1 ＝０も同 様。他方 u 1 は u 2 と一次独立なので, s 2 ＝u 2 ･v 2 ≠０; s 1 ＝u 1 ･v 1 ≠０も同様である。▯ 注意 A が対称行列なら u i は v i の転置行列としてよいが,そうでない場合には区別を要
(*)SIN HITOTUMATU，京都大学名誉教授，公益財団法人 日本数学検定協会名誉会長
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