学習数学研究紀要 創刊号（第1巻）
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- と表される。第 k ブロックの数の和は k 3 に等しい。これは等差数列の和だが，次のよう に考えてもよい。k が奇数なら中央項は
k－１ ＝k2 ２ k－１ 組あるから総計 k 3 になる。 kが ２
k 2－k ＋１＋２×
であり， それをはさんで対称に和が２ k 2 になる組が 偶数なら，両端の数の和が （ k 2－k ＋１） ＋ （ k 2－k ＋１＋２k －２） ＝２ k 2 であり，同じ和の対が全体で
k 組生じるから，やはり総計 k 3 である。 ２
したがって最初から第 n ブロックまでの総和が，所要の三乗数の和に等しい。それは １から始めてTn 個の奇数の和であり，⑷によってTn 2 に等しい。▯
４．三乗和の公式―第３証明 次のような乗積表を考える。 これを各行ごとに足せば，和は順次
Tn ，２Tn ，３Tn ，…，nTn
であり，全体の和は
Tn ×Tn ＝Tn 2
に等しい。 他方左上から逆Ｌ字型に分けて足すと，最初のブロックは１だが，次は ２＋４＋２＝２ （１＋２＋１） ＝２×２2＝２3 である。同様に第 k ブロックの和は k（１＋２＋…＋k ） ＋k（１＋２＋…＋ （k－１） ） ＝kTk ＋kTk－ １＝k× k 2 ＝ k 3 に等しい。したがって全体の和は三乗和
3 １ ＋２3＋＋n 3 に等しく，等式⑴を得る。▯
５．むすび 以上は一例にすぎない。 これらはよく知られた結果だが， 意外と工夫の余地があると感 じたので，敢えて紹介した次第である。
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