学習数学研究紀要 創刊号（第1巻）
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- 三乗和の公式の簡単な求め方
学習数学研究所 特別顧問 一松 信 ０．はじめに 三乗数の和（略して三乗和とよぶ）の公式
3 １ ＋２3＋＋n 3 ＝ k 3 ＝
k＝ １ n
（n＋１） n ２
２
……⑴
は有名でよく知られている。この公式は三角数Tn を活用すると，以下のように容易に示 すことができる。簡単な注意だが，検定問題に出題されたこともあるので，この機会にま とめて３通りの証明を紹介する。 １．準備―三角数の性質 １＋２＋･･･＋n ＝Tn ＝
n （n＋ １） ２
……⑵
は等差数列の和として，あるいは図形的にも容易に示される（三角数とよぶ） 。補助定理 として 命題１
Tn－ １＋Tn ＝ n 2
2
……⑶ ……⑷
命題２ １＋３＋５＋･･･＋ （２k －１） ＝k きる。 ２．三乗和の公式―第１証明
⑷は順次の奇数 k 個の和である。 これらは⑵からも， あるいは図形的にも容易に証明で
三角数の定義からTk －Tk－ １＝k である。これと⑶（n を k とする）を掛けると
2 k3 ＝ （Tk －Tk－ １） （Tk ＋Tk－ １） ＝Tk 2 －Tk－ １
……⑸
2
である。T0 ＝０，T1 ＝１により，⑸を k＝１から n まで加えれば，三乗数の和はTn とな る。これは所要の式⑴である。▯ ３．三乗和の公式―第２証明 １から始まる奇数の列を順次 k 個ごとに区切って，第 k ブロックC k とする。 １｜３ ５｜７ ９ 11｜13 15 17 19｜21 ２Tk－ １＋１＝ k 2－k＋１ 23 25 27 29｜･･･ 第 k ブロックの初項は，その前にTk－ １個の奇数があるので ……⑹
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