書籍のサンプル 実用数学技能検定 文章題練習帳
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- 目 次
まえがき 目次 本書の構成と使い方 受検ガイド (検定概要・受検申し込み) 階級の構成 3級の検定基準 (抄) 2 3 4 6 8 9 12 16 20 24 30 32 36 40 44 48 52 58
第1章 数と式に関する問題
1-1 正の数と負の数 1-2 文字を用いた式 1-3 1 次方程式 1-4 連立方程式 1-5 式の展開と因数分解 1-6 平方根 1-7 2 次方程式 確認テスト 2-1 比例と反比例 2-2 1 次関数 2 2-3 関数 y=ax 確認テスト
11
第2章 関数に関する問題
43
第3章 資料の活用に関する問題
3-1 簡単な資料の統計 3-2 確率の基礎 3-3 標本調査 確認テスト
61
62 66 70 72
チャレンジ!長文問題 付録 図形に関する問題
1 平面図形と平行線の性質 2 空間図形 3 図形の合同 4 図形の相似 5 円周率と中心角 6 三平方の定理 確認テスト
75 81
82 86 90 96 100 102 108
解答と解説
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- 例 題
みなみさんの家から学校までの道のりは 1470m です。今朝,みなみ さんは,家を出発して分速 80m の速さでしばらく歩いた後,遅刻しそ うなことに気付いて,残りの道のりを分速 170m の速さで走って学校 まで行きました。家から学校に着くまでにかかった時間が 15 分のと き,次の問題に答えなさい。 ⑴ みなみさんが歩いた時間を x 分,走った時間を y 分として,連立方 程式をつくりなさい。
数量の関係から方程式を 2 つつくろう。
⑵ みなみさんが歩いた時間と走った時間をそれぞれ求めなさい。
速さの問題は,下の公式を使って,道のり・速さ・時間の数量の関係に ついて,方程式をつくります。 道のり=速さ×時間 速さ=道のり÷時間 時間=道のり÷速さ ⑴ (歩いた時間) + (走った時間) = (家から学校に着くまでにかかった時間) なので,x + y = 15
時間についての式ができたね。
(歩いた道のり) + (走った道のり) = (家から学校までの道のり) なので, 80x + 170y = 1470
道のりについての式ができたね。
これらの式から,連立方程式をつくります。
答え
x + y = 15 80x + 170y = 1470
⑵ x + y = 15…①,80x + 170y = 1470…②とすると, ① × 8 -②÷ 10 より, 8x + 8y = 120 y = 3 を①に代入して, -) 8x + 17y = 147 x + 3 = 15 - 9y = - 27 x = 12 y = 3
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答え 歩いた時間 12 分,走った時間 3 分
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- 練 習
だいちさんの家から図書館までの道のりは 1880m です。だいちさん は,家を出発して,途中まで分速 70m の速さで歩き,その後,分速 180m の速さで走って図書館まで行ったところ,19 分かかりました。 このとき,だいちさんが歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めな さい。 だいちさんが歩いた時間を x 分,走った時間を y 分とすると, x + y=
ア
…①
イ
時間についての式ができたね。
70x + 180y =
…②
②÷ 10 -① × 7 より,11y = 55,y = 5 y = 5 を①に代入して,x = 19 - 5 = 14
道のりについての式ができたね。 最後に,求めたいものを 計算し,解答としよう。
連立方程式
よって,歩いた道のりは,70 × 14 = 980 (m) 走った道のりは,180 × 5 = 900 (m)
〈別解答〉
答え 歩いた道のり 980m,走った道のり 900m
求めたい道のりを文字で表して解くこともできます。 だいちさんが歩いた道のりを x m,走った道のりを y m とすると, x + y= x y + = 70 180
ウ
…③
エ
道のりについての式ができたね。 時間についての式ができたね。
…④
④に 70 と 180 の最小公倍数である 1260 をかけると,18x + 7y = 23940…④′ ③に 7 をかけると,7x + 7y = 13160…③′ ④′ -③′ より,11x = 10780 x = 980 を③に代入して, x = 980 980 + y = 1880 y = 900
答え ア 19 イ 1880 ウ 1880 エ 19
連立方程式
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- 第1章
確認テスト
答え P112 ~ 115
下の表は,5 日間の図書室の利用者数を,水曜日を基準として, 1 それより人数が多いときはその差を正の数で,人数が少ないときはそ の差を負の数で表したものです。これについて,次の問題に答えなさ い。
曜日 月 火 -8 水 0 木 +7 金 + 15
利用者数の基準との差(人) + 24
⑴ 利用者数がもっとも多い曜日ともっとも少ない曜日の人数の差 は,何人ですか。 ⑵ 水曜日の利用者数が 24 人のとき,5 日間の図書室の利用者数の 平均を求めなさい。
(2 乗) に 3 を加えた数は,4 の倍数 2 n を整数として,奇数の平方 になることを証明しなさい。
長椅子に子どもたちを座らせていきます。1 つの長椅子に 5 人ず 3 つ座っていくと 13 人が座れず,6 人ずつ座っていくと全員が座るこ とができ,長椅子の 1 つは 1 人だけが座ります。このとき,長椅子 の数と子どもの人数を求めなさい。
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- 1 周 1.2km の池の周りを A さんと B さんが歩きます。2 人が同 4 時に同じ地点から同じ方向に歩き出すと,B さんが A さんに 30 分後 に追いつきます。2 人が同時に同じ地点から反対方向に歩き出すと, 6 分後に出会います。このとき,A さんと B さんの歩く速さは分速 何 m ですか。それぞれ求めなさい。
確認テスト
ある中学校の去年の生徒数は,690 人でした。今年は去年に比べ 5 て,男子が 5 %増え,女子が 8 %減ったので,生徒数は 679 人にな りました。去年の男子の人数を x 人,女子の人数を y 人として,次の 問題に答えなさい。 ⑴ 去年の生徒数について,x,y の方程式をつくりなさい。 ⑵ 今年の生徒数について,x,y の方程式をつくりなさい。 ⑶ 今年の男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。
円錐 P と円錐 Q があります。円錐 P の底面の半径は r cm,高さ 6 は 6cm で,円錐 Q の底面の半径は円錐 P の底面の半径より 4cm 長 く,高さは円錐 P の高さの 2 倍です。これについて,次の問題に答 えなさい。ただし,円周率はπとします。 ⑴ 円錐 P,Q の底面積をそれぞれ r を用いて表しなさい。ただし, 答えは展開した形で書きなさい。 ⑵ 円錐 Q の体積から円錐 P の体積をひいた差は何 cm3 ですか。
確認テスト
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- 例 題
次の問題に答えなさい。 nのと ⑴ 図 1 で, ℓ //m // き,x の値を求めなさい。 ⑵ 図 2 で, 四 角 形 ABCD さは何 cm ですか。
図1
ℓ m
10cm 6cm 8cm
図2
A
14cm
D
x cm B
E
24cm
F C
n
は AD//BC の 台 形 で,AE:EB = DF:FC = 3:2 の と き,EF の 長
EF と AD,BC の関係は?
△ ABC の辺 AB,AC 上の点をそれぞれ P,Q とするとき, PQ//BC ならば, ① AP:AB = AQ:AC = PQ:BC ② AP:PB = AQ:QC n なので,平行線と比の関係より, // ⑴ ℓ//m 6:10 = 8:x 6x = 80 x = 40 3 H とすると,AE:AB = EG:BH であることから, 3:5 = EG: (24 - 14) 5EG = 30 EG = 6 (cm) 〈別解答〉 右の図のように対角線 AC を引き,EF との交点を I とすると,△ ABC で,AE:AB = EI:BC より, 72 3:5 = EI:24 5EI = 72 EI = (cm) 5 △ CDA で,CF:CD = IF:AD より, 28 2:5 = IF:14 5IF = 28 IF = (cm) 5 72 28 EF = EI + IF = + = 20 (cm) 5 5
98
5 3 5 3
A Q C
P B
答え x =
40 3
⑵ 頂点 A を通り,DC に平行な直線と辺 EF,BC との交点をそれぞれ G,
A
14cm
D
3 5
BH = BC - HC
EF = EG + GF = 6 + 14 = 20 (cm)
答え 20cm
2
E
G H A
14cm 14cm
2
F
B
24cm 14cm
C D
3 5
2
E
I
2
F
B
24cm
C
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- ページ: 8
- 練 習
どんな定理が使えるかな?
右の図のように,△ ABC の辺 AB 上に,AD = DE = EB となるような点 D,E をとり,ま た辺 AC の中点を G とします。 EC = 12cm のとき,次の問題に答えなさい。 ⑵ GF の長さは何 cm ですか。
B E
12cm
A D G
⑴ BC:CF をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
C
F
中点連結定理 △ ABC の辺 AB,AC の中点をそれぞれ M,N とすると, M 1 MN//BC,MN = BC 2
B
A N
図形の相似
C A D G
⑴ △ AEC で,D,G はそれぞれ辺 AE,AC の中点で あることから,中点連結定理より, 1 DG//EC,DG = EC 2 したがって, 1 ア =6 (cm) DF//EC,DG = × 2 △ DBF で,DF//EC だから, BC:CF = BE: DF = =
ウ ウ イ
E B
12cm
6cm
C
F
= 1:1
答え 1:1
A D E B
12cm
6cm
⑵ △ DBF で,中点連結定理より, EC × 12 = 24 (cm)
エ
G
GF = DF -
= 24 - 6 = 18 (cm) 中点連結定理や,三角形と比の
関係が使える三角形をさがそう。
C
F
答え 18cm
答え ア 12 (EC) イ ED ウ 2 エ DG
図形の相似
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