書籍のサンプル 実用数学技能検定［完全解説問題集］発見
- ページ： 3
- １次：計算技能検定
《問 題》
問題１． 次の式を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
2 2 2 1 - x - y - z + 2xyz - ^x - yz h ^y - zx h - ^y - zx h ^z - xy h - ^z - xy h ^x - yz h
問題２． 88〜89 ページの常用対数表を用いて，次の式の計算結果を上から 3 けたの概数として #10 （1.00 以上 9.99 以下の小数） の形で表しなさい。
n
^2.42 # 10 2h # ^4.27 # 10 3h # ^8.54 # 10 1h # ^5.36 # 10 4h
問題３． 次の行列式を計算しなさい。
3 5 7 11 11 7 5 3 7 3 11 5 5 11 3 7
問題４． 5 個の 2 次元データ ^x, y h = ^-1, - 4h, ^1, - 1h, ^2, 3h, ^3, 5h, ^5, 7h … （＊）
について，次の問いに答えなさい。
① x と y の相関係数を求めなさい。
N 個のデータ ^X, Y h = ^X 1 , Y 1h, ^X 2 , Y 2h, ^X 3 , Y 3h, g, ^X N , Y N h について， （最 ② 小二乗法による）Y の X への回帰直線の式は，X と Y の相関係数を tXY とするとき
vY ^X - X h vX
Y -Y = tXY $
で与えられます。ただし， X ，Y はそれぞれ X，Y の（相加）平均，vX，vY はそれ
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- ページ： 4
- 第 4 回 1 次：計算技能検定《問題》 Y の標準偏差を表します。このとき， ぞれ X， （＊） の 5 個の 2 次元データについて， （最 小二乗法による）y の x への回帰直線の式を求めなさい。
問題５． a，b を相異なる正の実数とします。このとき tan
-1
a+b a + tan-1 … （＊） b a-b r r 1 tan-1 x 1 であるとします。 2 2
を考えます。ただし，すべての実数 x において，このとき，次の問いに答えなさい。 ① a > b のとき， （＊）の値を求めなさい。 ② a < b のとき， （＊）の値を求めなさい。
１次
第４回
問題６． 次の級数の和を求めなさい。 /
3
n=1
1 2n n
問題７． なさい。 xy 平面における領域 D = "^x, y h x 2 + y 2 E 2y, x F 0, に対して，次の重積分を計算し
2 ##D xy dxdy
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- １次：計算技能検定
《解答・解説》
問題１． 展開して，x の項べきの順に並べる。
1 - x 2 - y 2 - z 2 + 2xyz - ^x - yz h ^y - zx h - ^y - zx h ^z - xy h - ^z - xy h ^x - yz h
2 2 2 -^xz - yz - x y + xy z h
= 1 - x 2 - y 2 - z 2 + 2xyz - ^xy - x 2 z - y 2 z + xyz 2h - ^yz - xy 2 - xz 2 + x 2 yz h = x 2 ^-yz + y + z - 1h + x ^-y 2 z + y 2 - yz 2 + 2yz - y + z 2 - z h = x 2 "-y ^z - 1h + ^z - 1h, + x "^y + z h2 - yz ^y + z h - ^y + z h,
2 2 2 2 +y z - y + yz - yz - z + 1
= x 2 ^z - 1h ^-y + 1h + x ^y + z h "^y + z h - yz - 1, + ^z - 1h "y 2 + yz - ^z + 1h, = -x 2 ^z - 1h ^y - 1h + x ^y + z h ^z - 1h ^-y + 1h + ^z - 1h ^y - 1h "z + ^y + 1h, = -^z - 1h ^y - 1h "x 2 + x ^y + z h - ^y + z + 1h, = -^x - 1h ^y - 1h ^z - 1h ^x + y + z + 1h = -x 2 ^z - 1h ^y - 1h - x ^y + z h ^z - 1h ^y - 1h + ^z - 1h ^y - 1h ^y + z + 1h
2 2 +y ^z - 1h + yz ^z - 1h - ^z - 1h
= x 2 ^z - 1h ^-y + 1h + x ^y + z h "-y ^z - 1h + ^z - 1h, + ^z - 1h "z ^y - 1h + y 2 - 1,
= -^z - 1h ^y - 1h "x + ^y + z + 1h, ^x - 1h
（答） -^x - 1h ^y - 1h ^z - 1h ^x + y + z + 1h
別 解
基本対称式を考える。
2 2 2 1 - x - y - z + 2xyz - ^x - yz h ^y - zx h - ^y - zx h ^z - xy h - ^z - xy h ^x - yz h 2 2 2 = 1 - ^x + y + z h + 2xyz - ^xy + yz + zx h 2 2 2 2 2 2 +x z + xz + y z + yz + y x + yx - xyz ^x + y + z h 2 2 2 2 2 2 2 = 1 - ^z1 - 2z2h + 2z3 - z2 + ^x z + xz + y z + yz + y x + yx h - z3 z1 2 2 2 2 2 2 ここで，x z + xz + y z + yz + y x + yx = z1 z2 - 3z3 なので
x + y + z = z1 ，xy + yz + zx = z2 ，xyz = z3 とおくと
= 1 - ^z12 - 2z2h + 2z3 - z2 + ^z1 z2 - 3z3h - z3 z1 = -^z1 + 1h ^z1 + z3 - z2 - 1h
2 2 2 2 2 2 2 （与式）= 1 - ^z1 - 2z2h + 2z3 - z2 + ^x z + xz + y z + yz + y x + yx h - z3 z1
= 1 - z12 + z2 + z1 z2 - z3 - z3 z1 = -"z12 + ^z3 - z2h z1 + z3 - z2 - 1,
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- 第 4 回 1 次：計算技能検定《解答・解説》 = ^x + y + z + 1h ^1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz h ここで 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz = ^1 - x h ^1 - y h ^1 - z h
であるから，次のように因数分解できる。
（与式）= ^1 - x h ^1 - y h ^1 - z h ^x + y + z + 1h 参考 基本対称式
x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + y 2 x + yx 2 = z1 z2 - 3z3 の関係式に気づくのは容易ではないが，
2 2 2 2 2 2 z1 z2 = ^x + y + z h ^xy + yz + zx h = x z + xz + y z + yz + y x + yx + 3xyz 2 2 2 2 2 2 = x z + xz + y z + yz + y x + yx + 3z3
まず z1z2 を計算して
第４回
から
2 2 2 2 2 2 x z + xz + y z + yz + y x + yx = z1 z2 - 3z3
が得られる。
１次
問題２． とする。両辺の対数（底は 10）をとって常用対数表を使うと，次の値を得る。 = log 10 ^2.42 # 10 2h + log 10 ^4.27 # 10 3h + log 10 ^8.54 # 10 1h + log 10 ^5.36 # 10 4h = log 10 2.42 + 2 + log 10 4.27 + 3 + log 10 8.54 + 1 + log 10 5.36 + 4 = 0.3838 + 2 + 0.6304 + 3 + 0.9315 + 1 + 0.7292 + 4 = 12.6749 よって，X = 10 12.6749 = 10 12 # 10 0.6749 常用対数表より， log 10 4.73 = 0.6749 なので， 4.73 = 10 0.6749 から X = 4.73 # 10 12 と表せる。 （答） 4.73 # 10
12
X = ^2.42 # 10 2h # ^4.27 # 10 3h # ^8.54 # 10 1h # ^5.36 # 10 4h
log 10 X = log 10 "^2.42 # 10 2h # ^4.27 # 10 3h # ^8.54 # 10 1h # ^5.36 # 10 4h,
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