書籍のサンプル 実用数学技能検定［完全解説問題集］発見
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《解答・解説》
問題１． 展開して，x の項べきの順に並べる。
1 - x 2 - y 2 - z 2 + 2xyz - ^x - yz h ^y - zx h - ^y - zx h ^z - xy h - ^z - xy h ^x - yz h
2 2 2 -^xz - yz - x y + xy z h
= 1 - x 2 - y 2 - z 2 + 2xyz - ^xy - x 2 z - y 2 z + xyz 2h - ^yz - xy 2 - xz 2 + x 2 yz h = x 2 ^-yz + y + z - 1h + x ^-y 2 z + y 2 - yz 2 + 2yz - y + z 2 - z h = x 2 "-y ^z - 1h + ^z - 1h, + x "^y + z h2 - yz ^y + z h - ^y + z h,
2 2 2 2 +y z - y + yz - yz - z + 1
= x 2 ^z - 1h ^-y + 1h + x ^y + z h "^y + z h - yz - 1, + ^z - 1h "y 2 + yz - ^z + 1h, = -x 2 ^z - 1h ^y - 1h + x ^y + z h ^z - 1h ^-y + 1h + ^z - 1h ^y - 1h "z + ^y + 1h, = -^z - 1h ^y - 1h "x 2 + x ^y + z h - ^y + z + 1h, = -^x - 1h ^y - 1h ^z - 1h ^x + y + z + 1h = -x 2 ^z - 1h ^y - 1h - x ^y + z h ^z - 1h ^y - 1h + ^z - 1h ^y - 1h ^y + z + 1h
2 2 +y ^z - 1h + yz ^z - 1h - ^z - 1h
= x 2 ^z - 1h ^-y + 1h + x ^y + z h "-y ^z - 1h + ^z - 1h, + ^z - 1h "z ^y - 1h + y 2 - 1,
= -^z - 1h ^y - 1h "x + ^y + z + 1h, ^x - 1h
（答） -^x - 1h ^y - 1h ^z - 1h ^x + y + z + 1h
別 解
基本対称式を考える。
2 2 2 1 - x - y - z + 2xyz - ^x - yz h ^y - zx h - ^y - zx h ^z - xy h - ^z - xy h ^x - yz h 2 2 2 = 1 - ^x + y + z h + 2xyz - ^xy + yz + zx h 2 2 2 2 2 2 +x z + xz + y z + yz + y x + yx - xyz ^x + y + z h 2 2 2 2 2 2 2 = 1 - ^z1 - 2z2h + 2z3 - z2 + ^x z + xz + y z + yz + y x + yx h - z3 z1 2 2 2 2 2 2 ここで，x z + xz + y z + yz + y x + yx = z1 z2 - 3z3 なので
x + y + z = z1 ，xy + yz + zx = z2 ，xyz = z3 とおくと
= 1 - ^z12 - 2z2h + 2z3 - z2 + ^z1 z2 - 3z3h - z3 z1 = -^z1 + 1h ^z1 + z3 - z2 - 1h
2 2 2 2 2 2 2 （与式）= 1 - ^z1 - 2z2h + 2z3 - z2 + ^x z + xz + y z + yz + y x + yx h - z3 z1
= 1 - z12 + z2 + z1 z2 - z3 - z3 z1 = -"z12 + ^z3 - z2h z1 + z3 - z2 - 1,
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